答案 为了找到三次函数 ( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d ) 的解析表达式，我们需要解决以下几个部分：

a) 确定函数 ( f(x) ) 的解析表达式

首先，我们知道 ( f(x) ) 在 ( x = 1 ) 和 ( x = -1 ) 处分别取得极小值和极大值。这意味着 ( f’(x) ) 在这些点处等于0。我们还知道 ( f(0) = 3 ) 和 ( f(2) = 1 )。

我们可以建立以下方程组：

1. ( f’(1) = 0 )
2. ( f’(-1) = 0 )
3. ( f(0) = 3 )
4. ( f(2) = 1 )

先求导数 ( f’(x) = 3ax^2 + 2bx + c )，然后代入方程组：

1. ( 3a(1)^2 + 2b(1) + c = 0 )
2. ( 3a(-1)^2 + 2b(-1) + c = 0 )
3. ( a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 3 )
4. ( a(2)^3 + b(2)^2 + c(2) + d = 1 )

简化后得到：

1. ( 3a + 2b + c = 0 )
2. ( 3a - 2b + c = 0 )
3. ( d = 3 )
4. ( 8a + 4b + 2c + d = 1 )

由方程3得到 ( d = 3 )。将 ( d ) 的值代入方程4，并将方程1和方程2联立求解，可以得到 ( a, b, c ) 的值。

通过解方程组，我们可以得到：

[ a = -\frac{1}{2}, \quad b = 0, \quad c = \frac{3}{2}, \quad d = 3 ]

因此，函数 ( f(x) ) 的解析表达式为：

[ f(x) = -\frac{1}{2}x^3 + \frac{3}{2}x + 3 ]

b) 计算定积分 (\int_ {-2}^ {3} f(x) , dx)

现在，我们需要计算 ( f(x) ) 在区间 ([-2, 3]) 上的定积分：

[ \int_{-2}^{3} f(x) , dx = \int_{-2}^{3} \left(-\frac{1}{2}x^3 + \frac{3}{2}x + 3\right) , dx ]

计算积分：

[ \int_{-2}^{3} \left(-\frac{1}{2}x^3 + \frac{3}{2}x + 3\right) , dx = \left[-\frac{1}{8}x^4 + \frac{3}{4}x^2 + 3x\right]_{-2}^{3} ]

代入上下限：

[ = \left(-\frac{1}{8}(3)^4 + \frac{3}{4}(3)^2 + 3(3)\right) - \left(-\frac{1}{8}(-2)^4 + \frac{3}{4}(-2)^2 + 3(-2)\right) ]

计算结果：

[ = \left(-\frac{81}{8} + \frac{27}{4} + 9\right) - \left(-\frac{16}{8} + \frac{12}{4} - 6\right) ]

[ = \left(-\frac{81}{8} + \frac{54}{8} + \frac{72}{8}\right) - \left(-2 + 3 - 6\right) ]

[ = \frac{-81 + 54 + 72}{8} + 5 ]

[ = \frac{45}{8} + 5 ]

[ = 5.625 + 5 ]

[ = 10.625 ]

因此，定积分的结果为 ( 10.625 )。

c) 计算函数 ( f(x) ) 在区间 ([-2, 3]) 上的最大值和最小值

为了找到最大值和最小值，我们需要检查 ( f(x) ) 在区间端点以及任何临界点（即 ( f’(x) = 0 ) 的点）的值。

我们已经知道 ( f(x) ) 在 ( x = -1 ) 和 ( x = 1 ) 处分别取得极大值和极小值。因此，我们需要检查这些点以及区间端点 ( x = -2 ) 和 ( x = 3 )。

计算 ( f(x) ) 在这些点的值：

[ f(-2) = -\frac{1}{2}(-2)^3 + \frac{3}{2}(-2) + 3 = 1 ] [ f(-1) = -\frac{1}{2}(-1)^3 + \frac{3}{2}(-1) + 3 = 6 ] [ f(1) = -\frac{1}{2}(1)^3 + \frac{3}{2}(1) + 3 = 2 ] [ f(3) = -\frac{1}{2}(3)^3 + \frac{3}{2}(3) + 3 = -\frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 3 = 3 ]

比较这些值，我们可以看到：

• 最大值为 ( f(-1) = 6 )
• 最小值为 ( f(1) = 2 )